Costa dilahirkan pada tahun 1961 di São Sebastião da Pedreira, Lisbon. Beliau anak kepada penulis Orlando da Costa, penulis dan penyajak keturunan Goa berasal dari Maputo, Mozambique[4][5][6] dan Maria Antónia Palla, seorang wartawan.[6]

Beliau mula-mula memasuki politik dan dipilih sebagai timbalan wakil Parti Sosialis kepada majlis perbandaran tidak lama selepas menamatkan pengajian di Fakulti Undang-undang Universiti Lisbon pada tahun 1980-an. Beliau menamatkan khidmat kerahan tentera wajibnya pada tahun 1987 [7] dan kemudian mengamalkan undang-undang secara ringkas dari tahun 1988, sebelum memasuki alam politik sepenuh masa.[8]